Académie d'Aix-Marseille Pédagogie
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LES LOIS DE KEPLER

Martial Aude Jean-Claude Desarnaud
Professeurs

I- Objectif

Il s'agit d'étudier le mouvement de la planète Mercure sur son orbite afin de le confronter avec les lois de Képler.

II- Principe

1ère loi

Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe l'un des foyers.

Ellipse1.gif (6517 octets)

2ème loi

Les surfaces balayées par le rayon vecteur pendant des durées égales sont égales.

Ellipse2.gif (13053 octets)

3ème loi

Le rapport du carré de la période révolution, T, au cube du demi grand axe de l'ellipse, a, est constant pour toutes les planètes.

avec G = 6,67 x 10-11 S.I. et MS = masse du Soleil

III- Données mathématiques

Soit une ellipse de demi-grand axe, a et demi-petit axe, b. Tout point M de l'ellipse vérifie la relation MF + MF' = 2a. F et F' sont les foyers de l'ellipse.

Ellipse.gif (15680 octets)

Un point M de l'ellipse est à une distance r du foyer F telle que :

avec et l'excentricité (e = 0 pour un cercle).

Lorsque M est en Q, il apparaît que QF + QF' = 2a et QF = QF' = a. D'après le théorème de Pythagore, on en déduit :
c² = a² - b² soit .

Lorsque l'un des foyers (F) est occupé par le Soleil, on appelle :

  • périhélie : la plus petite distance de la planète au Soleil, ici FP = a - c ;
  • aphélie : la plus grande distance de la planète au Soleil, ici FA = a + c.

IV- Etude

1ère loi : Nature de la trajectoire

  • Lancer l'application EXCEL qui s'appelle Mercure (fichier téléchargeable au format Excel 97 de 84 ko).
  • Une ellipse de demi-grand axe a et demi-petit axe b est tracée (se déplacer à droite dans la fenêtre pour voir l'ellipse). Les positions de Mercure relevées dans le tableau sont reportées sur le graphique. Les axes sont gradués en unités astronomiques. Si la trajectoire de Mercure est une ellipse, il doit être possible de superposer l'ellipse théorique avec les positions de la planète en ajustant les valeurs de a et b. La trajectoire de Mercure est-elle une ellipse dont le soleil S occupe l'un des foyers ? Que vaut a ? b ?
  • En déduire l'aphélie et le périhélie. Quelle est l'excentricité de l'ellipse ?
  • Imprimer la courbe.

2ème loi : aires balayées

  • La colonne H (aires) du tableau EXCEL donne la valeur des aires balayées lorsque le rayon MS tourne de 1°. En vous aidant des valeurs situées dans cette colonne et du tableau fourni en annexe, calculer l'aire balayée entre le 20/07/95 et le24/08/95 soit S1 et l'aire balayée pendant la même durée, du 08/09/95 au 13/10/95, soit S2.

Pour ce faire, utiliser une cellule vide pour calculer la somme des aires durant ces périodes: zone H4 à H158 pour S1 et H201 à H345 pour S2.

  • Comparer S1 et S2 : la 2ème loi de Képler est-elle vérifiée ?

3ème loi

  • Déterminer la période de révolution de Mercure en utilisant le tableau.
  • Calculer le rapport pour la Terre, pour Mercure ? a = 1 U.A. = 150 x 106 km pour la Terre. Ce rapport est-il constant ? La 3ème loi est-elle vérifiée ?
  • En déduire la masse du Soleil.

Annexe tirée des Cahiers Clairaut

Position

Date

Angle q (°)

Distance r (U.A.)

1

20/07/1995

0

0.3075

2

25/07/1995

31

0.315

3

30/07/1995

60

0.336

4

04/08/1995

85

0.363

5

09/08/1995

106

0.392

6

14/08/1995

124

0.418

7

19/08/1995

140

0.440

8

24/08/1995

155

0.455

9

29/08/1995

169

0.464

10

03/09/1995

183

0.467

11

08/09/1995

197

0.462

12

13/09/1995

211

0.450

13

18/09/1995

227

0.432

14

23/09/1995

244

0.408

15

28/09/1995

263

0.381

16

03/10/1995

286

0.352

17

08/10/1995

312

0.326

18

13/10/1995

342

0.310

19

18/10/1995

13

0.309

Commentaires

1ère loi

  • Des valeurs de a et b proches respectivement de 0,386 U.A. et 0,378 U.A. semblent convenir. Dans le tableau EXCEL, les coordonnées x et y sont les coordonnées cartésiennes de la planète dans un repère héliocentrique.
  • . On en déduit l'excentricité
  • Le périhélie : SP = a – c = 0,308 U.A = 46,2 x 106 km.
    L'aphélie : SA = a + c = 0,464 U.A = 69,6 x 106 km.
    On peut également pointer avec la souris sur l'ellipse.

2ème loi

Si on choisit la période du 20/07/95 au 04/08/95 et la période du 13/09/95 au 28/09/95, on trouve :

S1 = somme(H4:H88) = 7,937x10-2 U.A.² .
S2 = somme(H215:H266) = 7,845x10-2 U.A.²

avec les valeurs de a et b précédentes. L'accord se fait à 1 % près.

Lorsque le rayon vecteur pivote de 1°, on considère que l'aire balayée est peu différente du trois cent soixantièmes de l'aire du cercle moyen (rayon (r1 + r2) / 2).

3ème loi

  • Pour déterminer la période de révolution, on suppose que la vitesse de Mercure sur son orbite est constante sur une durée de 5 jours.
    On constate qu'il faut 5 jours de la position 18 à la position 19 soit 31°. Il faudra pour passer de la position 18 à la fin de sa révolution soit 360°. On trouve une période de révolution T = 87,9 j.
  • pour la Terre.
  • pour Mercure.

L'accord se fait à 1 % près.